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Y si Oumuamua fuese un objeto artificial

Recreación artística del objeto Oumuamua
Recreación artística del objeto Oumuamua

El interesante objeto extrasolar Oumuamua tiene una serie de características que lo hacen especialmente singular, o al menos, aún no hemos encontrado otros objetos con características parecidas. Proviene del exterior del Sistema Solar.

Lo cierto es que un reciente paper publicado por científicos del Centro de Astrofísica Smithsonian de Hardvard trata de descubrir las razones por las cuales este objeto viajero tiene una aceleración tan peculiar. Su relación de masa y área sería aproximadamente de \(0,1 g \cdot cm^{-2}\) y sería de una superficie delgada de entre 0,3 y 0,9 mm.

Los autores apuntan a una aceleración impropia de cometas, los cuales, no nos olvidemos, desprenden material que se evapora. Pero estudios recientes apuntan a que este objeto interestelar no es un cometa activo.

Así pues, el paper estudia la posibilidad de que el exceso de aceleración provenga de la presión de la radiación solar. Para formalizar cálculos los autores realizan una estimación del área y grosor de este singular viajero.

Órbita de Oumuamua
Órbita de Oumuamua

Tras un interesante desarrollo matemático el documento científico se preguntan que clase de objeto podría tener tal relación de masa y área y menciona que el objeto no ha podido ser visualizado de manera que se desconoce su geometría exacta. Especula entonces con otras geometrías posibles tales como un cono o un elipsoide hueco.

Finalmente compara la supuesta relación de masa y área de Oumuamua con los asteroides y cometas del Sistema Solar conocidos y es entonces cuando el papel especula con que el objeto podría ser artíficial aunque siempre como un hipótesis.

Habla de que podría ser un resto de una vela solar flotando en el espacio interestelar. Se atreven incluso los autores a compararlo con las velas solares diseñadas en la Tierra en el proyecto IKAROS

#Oumuamua #Hardvard #origenDesconocido

Discutir el sistema de ecuaciones en función del parámetro

\[ \left. \begin{array}{cccccc} x&+y&-z&=&\lambda \\ \lambda x&+2y&-z&=&3\lambda \\ 2x&+\lambda y &-z&=&6 \end{array} \right\} \]

Solución Escribimos el sistema de ecuaciones como matriz \(A\)

\[ A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 &-1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{array} \right) \]

Calculamos el rango de \(A\) a partir de sus determinantes. Sabemos que el rango de \(A\) es 3 porque es de 3x3, excepto cuando su determinante sea 0, buscamos este caso

\[ |A|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 &-1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{array} \right| = -\lambda^2+2\lambda=0 \]

Obtenemos que si \(\lambda\) es 0 o 2 el deteminante vale 0 \[\lambda \in \{0, 2\} \rightarrow |A| = 0 \]

Ahora sabemos que en estos dos casos el rango de \(\lambda\) no es 3 pero ¿cuál es entonces su rango?

Buscamos el siguiente número menor, probamos con rango 2 para ello busco una matriz de 2x2 que obtengo de la matriz \(A\)

\[ |A|= \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right| = 1 \not= 0 \]

Luego he descubierto que la matriz \(A\) sí es rango 2 independientemente del valor de \(\lambda\)

λ Rango(A)
0 2
2 2
otro 3

Ahora estudiaré el rango de la matriz ampliada \(A^*\) para los casos λ=0 y λ=2

\[ A= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & \lambda \\ \lambda & 2 &-1 & 3\lambda \\ 2 & \lambda & -1 & 6 \end{array} \right) \]

Si λ = 0

Hago el determinante pero sustituyo el valor de λ por el valor 0. Como es la matriz ampliada elijo tres columnas de las cuatro posibles. En este caso elijo las columnas 1, 2 y 4

\[ |A^*|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 6 \end{array} \right| = 12 \not= 0 \]

Luego para λ=0 el Rango de \(A^*\) es 3

\[\lambda=0 \rightarrow \text{Rango}(A^*)=3\]

Si λ=2

He buscado todos los determinantes posibles a partir de elegir tres columnas de las cuatro posibles. No he encontrado ninguna que dé un valor diferente de cero, luego no puede ser de rango 3. Probaré a ver si es de rango 2, para ello selecciono un determinante de 2x2. En principio sería rango 2 salvo que el determinante valga 0

\[ |A|= \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & \phantom{-}6 \end{array} \right| = 10 \not= 0 \]

Como el resultado no es nulo el rango es 2

Construyo una tabla con los datos obtenidos hasta ahora

λ Rango(A) Rango(\(A^*\)) Nº incógnitas Sistema
0 2 3 3 S.I.
2 2 2 3 S.C.I.
otro 3 3 3 S.C.D.

Donde S.I. significa sistema incompatible; S.C.D. sistema compatible determinado y S.C.I. es sistema compatible indeterminado

Esta última columna la obtenemos aplicando el teorema de Rouche-Fröbenius

#SistemaDeEcuaciones #2ºbachillerato #determinante #Rouche-Fröbenius

Matemáticas Madrid EvAU 2017 modelo opción A

Dadas las matrices:

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right) \;\;\;\; B= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 2 & 4 & 1 \\ m & 2 & -1 \\ \end{array} \right) \;\;\;\; C= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ \end{array} \right) \]

Calcular el valor de B en función de los valores de m

Vamos a emplear el método de los determinantes, para ello, primero probamos con un determinante pequeño, por ejemplo, de 2x2, y para ellos elegimos los términos que elementos de la matriz que más nos convenga. Por ejemplo, elegimos los cuatro de abajo a la derecha porque no tienen la incógnita \(m\)

Comprobamos cuanto vale su determinante. Si su determinante es distinto de cero entonces la matriz es al menos de rango 2, \(\text{Rango}(B)>=2\)

\[ |B|= \left| \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right| =-4-4=-8 \]

Acabamos de comprobar que el rango de \(B\) es al menos dos independientemente del valor de \(m\). Veamos ahora si podría ser de rango 3 mediante su determinante

\[ |B|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 2 & 4 & 1 \\ m & 2 & -1 \\ \end{array} \right| =-4m^2+6m-2 \]

Lo igualamos a cero porque nuestro objetivo es averiguar para que valor de \(m\) el determinante se anula

\[-4m^2+6m-2=0\]

Obtenemos los resultados 1 y \(\frac{1}{2}\). Llegamos a la conclusión de que si \(m\) toma alguno de esos valores el determinante se anula (vale 0) y por lo tanto la matriz no puede ser de rango 3.

Conclusión Si \(m\) toma el valor 1 o \(\frac{1}{2}\) el rango de la matriz será 2, en caso contrario será de rango 3. En lenguaje matemático se dice:

\[\text{Rango}(B)=\begin{cases} 2 & \text{si m} \in \{1, \frac{1}{2}\} \\ 3 & \text{para otros valores de m} \end{cases}\]

Calcular la matriz inversa de \(A\) y comprobar que verifica \(A^{-1}=\frac{1}{5}(A^2+3c)\)

Buscamos la inversa de \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right)\)

Tenemos varias formas de encontrar la inversa \(A^{-1}\). En este caso vamos a emplear la fórmula

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot adj(A)^T\]

Para poder usarla debemos obtener el determinante \(|A|\)

\[|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right| =5\]

Ahora vamos a calcular la adjunta \(adj(A)\) \[ \begin{array}{lll} \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|=2\hspace{1cm} & -\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-1\hspace{1cm}& \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array}\right| = 2 \\ \\ -\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|=4\hspace{1cm} & \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=3\hspace{1cm} & -\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-1 \\ \\ \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right|=1\hspace{1cm} & -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=2\hspace{1cm} & \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|=1 \\ \\ \end{array}\]

Así pues, obtenemos la matriz de adjuntos

\[adj(A)=\left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -1 \\ \phantom{-}1 & 2 & 1 \end{array} \right)\]

Ahora vamos a calcular la traspuesta de esta misma

\[adj(A)^T=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & \phantom{-}1 \end{array} \right)\]

Y finalmente la inversa a partir de la fórmula que llamaremos (1)

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)^T=\frac{1}{5} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & \phantom{-}1 \end{array} \right)\]

También debemos obtener \(A^2\)

\[A^2= \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & 5 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Finalmente sustituimos en la fórmula del enunciado

\[\frac{1}{5}(A^2+3C)=\frac{1}{5} \left[ \left( \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & 5 & 1 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rrr} 3 & 3 & -3 \\ -3 & 6 & 3 \\ 3 & -6 & 0 \\ \end{array} \right) \right]\]

Y el resultado final es

\[\frac{1}{5}(A^2+3C)=\frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 1\\ -1 & 3 & 2\\ 2 &-1 & 1 \end{array} \right) \]

Como vemos, esta expresión es la misma que la ecuación 1 por lo tanto, comprobamos que sí que se cumple la igualdad

#EvAU #2ºBachillerato #determinante #matriz

KaTeX vs MathJax

Para el desarrollo de mi sitio personal he probado ambas librerías javascript y debo decir que he notado alguna que otra diferencia en su uso. Ambas son herramientas muy útiles para representar matemáticas en la web.

Debo aclarar que antes de usar estas dos me decanté por MathML pero desgraciadamente Google Chrome no tiene soporte para MathML con lo cual no me quedó más remedio que estudiar las opciones que os voy a presentar.

Ambas librerías permiten escribir código LaTeX y transformarlo en tiempo real a un formato matemático mediante JavaScript.

Tras experimentar con ambos, he decidido quedarme con KaTeX para este sitio web ya que no emplea cookies y deseo crear un sitio web totalmente limpio. Además KaTeX me ofrece mayor velocidad y eso es importante porque deseo emplear muchas expresiones matemáticas.

Uno de los puntos fuertes de este sitio web es que es en su mayoría estático, esto implica que es ligero y rápido de cargar y visualizar, incluso en un equipo antiguo.

#KaTeX #MathJaX #librería #web

Matemáticas Madrid EvAU 2015 septiembre opción B

Hallar el valor del determinante sabiendo que:

\[ \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right| = 3 \]

Calcular el valor de estos dos determinantes:

Primer determinante

\[ \left| \begin{array}{ccc} 2a-2b & c & 5b \\ 2d-2e & f & 5e \\ -2 & 3 & 10 \\ \end{array} \right| \]

Solución Aplicando exclusivamente las propiedades de los determinantes debemos lograr que el determinante se convierta en algo parecido al que nos da el enunciado que es el único que en realidad conocemos.

Saco factor común 5 de la tercera columna \(C_3\) fuera del determinante

\[ 5 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2a-2b & c & b \\ 2d-2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \\ \end{array} \right| \]

Aplico la combinación lineal a la 1ª columna \(C_1 = C_1+2 \cdot C_3\)

\[ 5 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2a & c & b \\ 2d & f & e \\ 2 & 3 & 2 \\ \end{array} \right| \]

Saco factor común 2 a la primera columna \(C_1\)

\[ 10 \cdot \left| \begin{array}{ccc} a & c & b \\ d & f & e \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right| \]

Intercambio la segunda columna \(C_2\) por la tercera columna \(C_3\) y obtenemos el mismo determinante que me daba el enunciado

\[ -10 \cdot \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right| \]

Sustituyo el determinante que conozco y obtengo la solución

\[-10 \cdot 3 = \boxed{-30}\]

Segundo determinante

\[ \left| \begin{array}{ccc} a-1 & b-2 & 2c-6 \\ 2 & 4 & 12 \\ d & e & 2f \\ \end{array} \right| \]

Solución Saco el factor 2 de la tercera columna \(C_3\) fuera del determinante

\[ 2 \cdot \left| \begin{array}{ccc} a-1 & b-2 & c-3 \\ 2 & 4 & 6 \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Ahora saco el factor 2 de la segunda file \(F_2\)

\[ 4 \cdot \left| \begin{array}{ccc} a-1 & b-2 & c-3 \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Aplico la siguiente combinación lineal \(F_1=F_1+F_2\) \[ 4 \cdot \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Cambio la segunda fila \(F_2\) por la tercera \(F_3\)

\[ -4 \cdot \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right| \]

Sustituyo el valor del determinante que conozco por el enunciado para obtener el enunciado

\[-4 \cdot 3 = \boxed{-12}\]

#EvAU #2ºBachillerato #determinante #matriz

Hallar el valor del determinante

Sabiendo que:

\[ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ d & e & f \\ \end{array} \right| = 2 \]

Calcular el valor de:

\[ \left| \begin{array}{ccc} 6 & 6 & 6 \\ a-2 & b-2 & c-2 \\ d/4 & e/4 & f/4 \\ \end{array} \right| \]

Solución Aplicando exclusivamente las propiedades de los determinantes debemos lograr que el segundo determinante se convierta en algo parecido al que nos da el enunciado que es el único que en realidad conocemos:

Saco el factor de la fila 1 \(F_1\) \[ 6 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a-2 & b-2 & c-2 \\ d/4 & e/4 & f/4 \\ \end{array} \right| \]

Saco el factor \(\frac{1}{4}\) de la tercera fila \(F_3\)

\[ \frac{6}{4} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a-2 & b-2 & c-2 \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Aplicando una combinación lineal a la segunda fila \(F_2 = F_2+2\cdot F_1\)

\[ \frac{3}{2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Como conocemos el valor del determinante que tenemos en este momento, simplemente sustituimos por su valor y obtenemos:

\[\frac{3}{2} \cdot 2 = \boxed{3}\]

#2ºBachillerato #determinante #matriz

Los números están en todas partes

\[e^{i\pi}+1=0\]

El universo son números y las matemáticas permiten estudiar, analizar y en ocasiones predecir lo que ocurrirá en el futuro

#generalidades