Logo Samuel Gómez

Matemáticas Madrid EvAU 2017 modelo opción A

Dadas las matrices:

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right) \;\;\;\; B= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 2 & 4 & 1 \\ m & 2 & -1 \\ \end{array} \right) \;\;\;\; C= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ \end{array} \right) \]

Calcular el valor de B en función de los valores de m

Vamos a emplear el método de los determinantes, para ello, primero probamos con un determinante pequeño, por ejemplo, de 2x2, y para ellos elegimos los términos que elementos de la matriz que más nos convenga. Por ejemplo, elegimos los cuatro de abajo a la derecha porque no tienen la incógnita \(m\)

Comprobamos cuanto vale su determinante. Si su determinante es distinto de cero entonces la matriz es al menos de rango 2, \(\text{Rango}(B)>=2\)

\[ |B|= \left| \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right| =-4-4=-8 \]

Acabamos de comprobar que el rango de \(B\) es al menos dos independientemente del valor de \(m\). Veamos ahora si podría ser de rango 3 mediante su determinante

\[ |B|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & m \\ 2 & 4 & 1 \\ m & 2 & -1 \\ \end{array} \right| =-4m^2+6m-2 \]

Lo igualamos a cero porque nuestro objetivo es averiguar para que valor de \(m\) el determinante se anula

\[-4m^2+6m-2=0\]

Obtenemos los resultados 1 y \(\frac{1}{2}\). Llegamos a la conclusión de que si \(m\) toma alguno de esos valores el determinante se anula (vale 0) y por lo tanto la matriz no puede ser de rango 3.

Conclusión Si \(m\) toma el valor 1 o \(\frac{1}{2}\) el rango de la matriz será 2, en caso contrario será de rango 3. En lenguaje matemático se dice:

\[\text{Rango}(B)=\begin{cases} 2 & \text{si m} \in \{1, \frac{1}{2}\} \\ 3 & \text{para otros valores de m} \end{cases}\]

Calcular la matriz inversa de \(A\) y comprobar que verifica \(A^{-1}=\frac{1}{5}(A^2+3c)\)

Buscamos la inversa de \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right)\)

Tenemos varias formas de encontrar la inversa \(A^{-1}\). En este caso vamos a emplear la fórmula

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot adj(A)^T\]

Para poder usarla debemos obtener el determinante \(|A|\)

\[|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right| =5\]

Ahora vamos a calcular la adjunta \(adj(A)\) \[ \begin{array}{lll} \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|=2\hspace{1cm} & -\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-1\hspace{1cm}& \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array}\right| = 2 \\ \\ -\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|=4\hspace{1cm} & \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=3\hspace{1cm} & -\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-1 \\ \\ \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right|=1\hspace{1cm} & -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=2\hspace{1cm} & \phantom{-}\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|=1 \\ \\ \end{array}\]

Así pues, obtenemos la matriz de adjuntos

\[adj(A)=\left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -1 \\ \phantom{-}1 & 2 & 1 \end{array} \right)\]

Ahora vamos a calcular la traspuesta de esta misma

\[adj(A)^T=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & \phantom{-}1 \end{array} \right)\]

Y finalmente la inversa a partir de la fórmula que llamaremos (1)

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)^T=\frac{1}{5} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & \phantom{-}1 \end{array} \right)\]

También debemos obtener \(A^2\)

\[A^2= \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & 5 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Finalmente sustituimos en la fórmula del enunciado

\[\frac{1}{5}(A^2+3C)=\frac{1}{5} \left[ \left( \begin{array}{rrr} -1 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & 5 & 1 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rrr} 3 & 3 & -3 \\ -3 & 6 & 3 \\ 3 & -6 & 0 \\ \end{array} \right) \right]\]

Y el resultado final es

\[\frac{1}{5}(A^2+3C)=\frac{1}{5} \left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 1\\ -1 & 3 & 2\\ 2 &-1 & 1 \end{array} \right) \]

Como vemos, esta expresión es la misma que la ecuación 1 por lo tanto, comprobamos que sí que se cumple la igualdad

#EvAU #2ºBachillerato #determinante #matriz