Logo Samuel Gómez

Hallar el valor del determinante

Sabiendo que:

\[ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ d & e & f \\ \end{array} \right| = 2 \]

Calcular el valor de:

\[ \left| \begin{array}{ccc} 6 & 6 & 6 \\ a-2 & b-2 & c-2 \\ d/4 & e/4 & f/4 \\ \end{array} \right| \]

Solución Aplicando exclusivamente las propiedades de los determinantes debemos lograr que el segundo determinante se convierta en algo parecido al que nos da el enunciado que es el único que en realidad conocemos:

Saco el factor de la fila 1 \(F_1\) \[ 6 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a-2 & b-2 & c-2 \\ d/4 & e/4 & f/4 \\ \end{array} \right| \]

Saco el factor \(\frac{1}{4}\) de la tercera fila \(F_3\)

\[ \frac{6}{4} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a-2 & b-2 & c-2 \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Aplicando una combinación lineal a la segunda fila \(F_2 = F_2+2\cdot F_1\)

\[ \frac{3}{2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ d & e & f \\ \end{array} \right| \]

Como conocemos el valor del determinante que tenemos en este momento, simplemente sustituimos por su valor y obtenemos:

\[\frac{3}{2} \cdot 2 = \boxed{3}\]

#2ºBachillerato #determinante #matriz