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Discutir el sistema de ecuaciones en función del parámetro

\[ \left. \begin{array}{cccccc} x&+y&-z&=&\lambda \\ \lambda x&+2y&-z&=&3\lambda \\ 2x&+\lambda y &-z&=&6 \end{array} \right\} \]

Solución Escribimos el sistema de ecuaciones como matriz \(A\)

\[ A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 &-1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{array} \right) \]

Calculamos el rango de \(A\) a partir de sus determinantes. Sabemos que el rango de \(A\) es 3 porque es de 3x3, excepto cuando su determinante sea 0, buscamos este caso

\[ |A|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 &-1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{array} \right| = -\lambda^2+2\lambda=0 \]

Obtenemos que si \(\lambda\) es 0 o 2 el deteminante vale 0 \[\lambda \in \{0, 2\} \rightarrow |A| = 0 \]

Ahora sabemos que en estos dos casos el rango de \(\lambda\) no es 3 pero ¿cuál es entonces su rango?

Buscamos el siguiente número menor, probamos con rango 2 para ello busco una matriz de 2x2 que obtengo de la matriz \(A\)

\[ |A|= \left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right| = 1 \not= 0 \]

Luego he descubierto que la matriz \(A\) sí es rango 2 independientemente del valor de \(\lambda\)

λ Rango(A)
0 2
2 2
otro 3

Ahora estudiaré el rango de la matriz ampliada \(A^*\) para los casos λ=0 y λ=2

\[ A= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & \lambda \\ \lambda & 2 &-1 & 3\lambda \\ 2 & \lambda & -1 & 6 \end{array} \right) \]

Si λ = 0

Hago el determinante pero sustituyo el valor de λ por el valor 0. Como es la matriz ampliada elijo tres columnas de las cuatro posibles. En este caso elijo las columnas 1, 2 y 4

\[ |A^*|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 6 \end{array} \right| = 12 \not= 0 \]

Luego para λ=0 el Rango de \(A^*\) es 3

\[\lambda=0 \rightarrow \text{Rango}(A^*)=3\]

Si λ=2

He buscado todos los determinantes posibles a partir de elegir tres columnas de las cuatro posibles. No he encontrado ninguna que dé un valor diferente de cero, luego no puede ser de rango 3. Probaré a ver si es de rango 2, para ello selecciono un determinante de 2x2. En principio sería rango 2 salvo que el determinante valga 0

\[ |A|= \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & \phantom{-}6 \end{array} \right| = 10 \not= 0 \]

Como el resultado no es nulo el rango es 2

Construyo una tabla con los datos obtenidos hasta ahora

λ Rango(A) Rango(\(A^*\)) Nº incógnitas Sistema
0 2 3 3 S.I.
2 2 2 3 S.C.I.
otro 3 3 3 S.C.D.

Donde S.I. significa sistema incompatible; S.C.D. sistema compatible determinado y S.C.I. es sistema compatible indeterminado

Esta última columna la obtenemos aplicando el teorema de Rouche-Fröbenius

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